sábado, 3 de abril de 2010

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
DEL ESTADO TRUJILLO
DPTO. MANTENIMIENTO DE EQUIPOS ELÉCTRICOS
PNF ELECTRICIDAD






Derivadas y límites







Jesús Enrique Rivas Briceño CI 19.899.464
Karla Andreina Peña Milla CI 20.151819
Ángel Giovanni Pavón Segovia CI 18.349.791
José Gregorio Linares Uzcátegui CI 20.428.981
Luz Aura Andara González CI 20.706.394
Sección: 1
Profesor: Iván Domínguez
Valera, Abril 2010


Índice
1. Funcion…………………………………………………………………………………………..……3-4
2. Explicación dinámica del concepto de punto de acumulación……….....5-7
3. Sucesiones y limites de sucesiones……………………………………….………….…7-8
4. Teorema de limites…………………………………………………………………………..…9-10
5. Reglas generales de diferenciación, derivadas de funciones simples,
función inversa, función potencial exponencial,
Funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas, funciones especiales,
Funciones gamma, función zeta de riemann……………………………….….…10-15


















Función:
Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).
Dominio de definición de una función f:
Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom (f).
Recorrido o imagen de una función f:
Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).
Función real de variable real:
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.
Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma: 3

Intervalos y entornos
Definimos sobre la recta real:

El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.
Entorno de un número real x:

Límite de una función en un punto

Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición , D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a acomo queramos, es decir, que a sea un punto de acumulación de D.
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Explicación dinámica del concepto de punto de acumulación
Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.
Ejemplo dinámico de un punto "a" que no es punto de acumulación
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a ; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.
Explicación dinámica del concepto de límite
Ejemplo: Una función típica en análisis es :

Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:

Límites laterales:
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por:

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a. Lo representamos por:

Ejemplo: 5

Límite de una función en el infinito.

Ejemplo:






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Sucesiones y límite de sucesiones.
Una sucesión es una función discreta, cuyo dominio de definición son los números naturales positivos. La variable independiente se representa con la letra ny la variable dependiente se representa por an.
Una sucesión an, tiene límite L, si al crecer indefinidamente n, los términos de la sucesión an se aproximan indefinidamente al número L. Que los términos de an se aproximan indefinidamente a L, significa que todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno L. Lo representamos por:

Observación: en las sucesiones no podemos hablar de límite cuando n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior o al siguiente.
Ejemplo:



7

Vamos a considerar la sucesión:

Los términos de esta sucesión crecen continuamente, es decir aumentan cuando aumenta n, pero la sucesión está acotada, es decir sus términos no pasan de un determinado valor, por tanto los términos de la sucesión han de aproximarse a algún número, que estará comprendido entre el 2 y el 3. El número al que se aproximan los términos de esta sucesión, es una constante muy característica en matemáticas que recibe el nombre de número e. Se define como:

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Teoremas de límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces


Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,


Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces


Teorema de límite4:


Teorema de límite5:


Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces


Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

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Teorema de límite8:

Reglas generales de diferenciación
Linealidad


Regla del producto

Regla de la función recíproca

Regla del cociente

Regla de la cadena

Derivadas de funciones simples
En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (eldominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.





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Ejemplos:











Derivada de la función inversa

,
para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.
Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas
La función exponencial es una función real que tiene la forma de f(x)=ex. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales. Tiene la particularidad de que si su base es el numero de euler su derivada es la misma función.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma 11

En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es elexponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Por ejemplo, el logaritmo con base b de un número N es el exponente x al que hay que elevar esa misma base para que nos dé dicho número N.

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .
Ejemplos:







Derivada de la función potencial exponencial


Derivadas de funciones trigonométricas:
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".1
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. 12
Ejemplos:







Derivadas de funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

sinh, cosh y tanh


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csch, sech y coth
El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)

(Secante hiperbólica)
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(Cosecante hiperbólica)
Derivadas de funciones especiales
Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.
No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.
Función Gamma


Función zeta de Riemann










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Bibliografia

http://usuarios.multimania.es/juanbeltran/id375.htm
http://www.scribd.com/doc/8689302/Limites-de-Funciones-de-Variable-Real
http://www.vitutor.com/fun/4/b_5.html
http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/derivfunctrigo.htm

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